今井先生が知っているのが
4月だとすると
佐野先生が19日と知っている場合に
「佐野先生も分からないことは分かる」とは言えないし
5月だとすると
佐野先生が20日と知っている場合に
「佐野先生も分からないことは分かる」とは言えないから
今井先生が知っているのは6月か7月のどちらかであることが
この発言を聞いた佐野先生に分かったことになる

佐野先生が
「最初分からなかった」と言ったので2日10日17日18日のどれかであったわけだが
上記の情報を聞いて「今分かった」のだから2日は除外され
佐野先生が知っているのは10日17日18日のどれかということが
今井先生に分かったことになる

そして今井先生が知っているのが7月であれば
7月10日(月)か7月17日(月)かを特定できないから
「ハッ！わかった」とは言えないので
今井先生が知っているのは6月であることが分かる

よって根本先生の誕生日は6月18日(日)