ここではペアノによる自然数の定義と、それを用いた1＋1＝2の証明について紹介します。証明が苦手な人でも大丈夫です。記号と約束の世界を一緒に楽しみましょう。

「1＋1＝2」という式には1と2という数字、＋という記号が含まれています。まずは数字に注目してみましょう。1や2のように、0より大きい整数のことを自然数と呼びます。ペアノはこの自然数がどのようなものかを、「ペアノの公理」という5つの約束で定めました。

<ペアノの公理>
次の性質をもつ集合Nを考える。
(1)集合Nは1という要素をもつ。
(2)集合Nの各要素に対し、その後に続く数が1つだけある。
(3)互いに異なる要素の後に続く数は、互いに異なる。
(4)1を後に続く数とする要素は存在しない。
(5)集合Nの要素1がある性質Aを満たすとき、集合Nの要素nが性質Aをもち、かつnの後に続く数も性質Aをもつならば、集合Nの全ての要素は性質Aをもつ。

この時、Nを自然数の集合といい、Nの要素を自然数という。

次に、+という記号に注目してみます。これも定義しておきましょう。集合Nのある要素nについて、n+1=nの後に続く数、という関係が成り立つとします。

今、aという仮の自然数を考えます。これに別の自然数a'の後に続く数を足すとします。このとき、a+（a'+1）=（a+a'）の後に続く数、という関係が成り立つとします。また、自然数aに対してa+0=aが成り立つとします。