【速報】ガチで意見が分かれる数学の問題がこれ。お前ら分かるか？ [227847468]
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２つの封筒問題
２つの封筒があり、一方の封筒に入っている金額はもう一方の封筒に入っている金額の２倍である。
一方の封筒を開けると１万円入っていた。あなたはそのままその１万円をもらってもいいし、もう一方の封筒と交換することもできる
そのまま１万円をもらった方が得か、それとも交換したほうが得か。
https://i.imgur.com/aOXPyX4.jpg
https://i.imgur 1つ目開けた時にどんなカットイン入ったとか演出によって考えるは >>520
＞自分が選んだ封筒が大きい方である確率は50%だよねw
自分が選んだ封筒が大きい方である確率は50%だけど
それは、
自分が選んだ封筒が大きい方で1万円である確率＋自分が選んだ封筒が大きい方で2万円である確率を内包しています
あまたが言う自分が選んだ封筒が大きい方である確率は50%
だと、あけた時点で、
自分が選んだ封筒が大きい方で1万円である確率
のみを消化したことになり、反対側をあけたからといって、残りが50％の確率ではありません。 >>476
等確率なのを認めるんじゃなくて、この場合客観的には判断できない
ただ主観的に「俺は等確率だと思うことにした」として行動することは特に不合理だとは言えない
それが客観的な現実に対応していると思ってしまうとオカルト いいか？封筒が用意された時点で中身は「変わらない」んだ
これが、
5000円と1万円の封筒なら
1万円を開けた時点で、もう片方が2万円である確率は「0％」なんだ。
そこをみんな50％で計算してるから期待値がおかしくなる
そして、これが1万円と2万円の場合もあるじゃないか？
となるだろ？
それは、「封筒を用意された時点」で決定しているんだ
じゃぁ、封筒を用意するときに組み合わせを決めるのは誰か？
になる
ここの定義がされてないんだ 封筒を開ける前の期待値計算：
最初に選択した封筒をA、他方をBとし、AとBの合計金額をTとし、事象Xが生起する確率をP(X)、値vの期待値をE(v)、事象Xが生じたときの変数vの期待値をE(v|X)と書くとすると
E(B) = P(A<B) * E(B|A<B) + P(A>B) * E(B|A>B)
= (1/2) * (2T/3) + (1/2) * (T/3)
= T/2
E(A) = P(A<B) * E(A|A<B) + P(A>B) * E(A|A>B)
= (1/2) * (T/3) + (1/2) * (2T/3)
= T/2
よってE(A) = E(B) >>529
1万=xの場合、交換すると100%x増える(0.5xが出る可能性は0)
1万=2xの場合、交換すると100%x減る(4xが出る可能性は0)
この2パターンのどっちになるかは半々
なので期待値0.5xと-0.5x合わせて0
これで多分Aが1万円固定の前提で説明できたと思う 交換したら期待値1.25倍！
だとしたら中身確認せずに交換し続ければ
期待値∞か？おかしいだろ 片方あけてるのにもう片方が50％って考えが危うい
当たりひいてるのにもう片方も50％で当たるかも？ってそれおかしいだろ 無限回やれば手持ちの金は増えるだろうけど
1回限りならただのギャンブル >>536
>自分が選んだ封筒が大きい方で2万円である確率を内包しています。
内包していません。もう既に自分の選んだ封筒が1万円であることは確定しています。「自分が選んだ封筒が大きい方である」と「自分が選んだ封筒が大きい方で1万円である」は事象として等価です。当然確率も同じ50%です。 >>541
2つしか封筒はないんですけどw
両方の金額が分かったら終了。交換し続けるって何だよw >>539
それはAとBが固定値である現実世界での話。
封筒開ける人の頭の中では2つの異なる世界の可能性があるから話は変わってくる。 >>441
え？違うだろ？
一万で変えた場合に下になった場合は5000円になる
変えた場合の駄目パターンはこの5000円なのが一万が出てる時点で確定してるよね？
んで変えてプラスのパターンは倍なんだから2万になる
もし取れてたら一万のプラスになる
それなら変える方を選んだ方が得するんじゃないの？
これで変えて5000円の部分が0円ってなるなら変えずにそのままってなるけどさ
このパターンで変えないやつっているの？
変えても変えなくても期待値全く同じって言うのなら詳しく解説してほしいんだけど >>545
＞>自分が選んだ封筒が大きい方で2万円である確率を内包しています。
＞内包していません。もう既に自分の選んだ封筒が1万円であることは確定しています。「自分が選んだ封筒が大きい方である」と「自分が選んだ封筒が大きい方で1万円である」は事象として等価です。当然確率も同じ50%です。
片方が1万円と確定しているなら、その時点で、2つの金額の総額が15000円か30000円かの確率になるので、50％ではないです
＞当然確率も同じ50%です。
これはどこから50％がでてくるのですか >>540
それは2つの場合でxの値が異なっているから明らかにミスってる。
ただしくは
1万=xの場合、交換すると100% x (= 1万) 増える
1万=2xの場合、交換すると100% x (= 5,000) 減る
この2パターンのどっちになるかは半々
なので増減期待値0.5*1万と-0.5*5000合わせて2500 >>550
▷15000円か30000円かの確率になるので、50%ではないです。
総額は関係ありません。後から5000円と20000円を掛けるので。あくまでどちらのケースになるのかの確率です。
ステップ1：2つ封筒があって自分が選んだ方が大きい方の確率は50%
ステップ2：自分が選んだ封筒は1万円であることが分かっているので、「自分が選んだ封筒が大きい方である」と「自分が選んだ封筒が1万円で大きい方である」は事象として等価
ステップ3：事象として等価なので確率も同じ50%
どのステップが分からないの？ >>549
50%で5000円
50%で20000円
になりそうな気がするっていうのが罠。 ちなみに裏技的な方法として、(A, B) = (A, 2A), (A, A/2)で考える場合でもそれぞれ平均金額で重み付けすると増減期待値0と示すこともできる。
(A, B) = (A, 2A)のとき、交換時増減額+A、平均額(A+2A)/2 = 3A/2
(A, B) = (A, A/2)のとき、交換時増減額-A/2、平均額(A+A/2)/2 = 3A/4
よって、交換時増減期待値Eは
E = (1/2) * {+A/(3A/2)} + (1/2) * {(-A/2)/(3A/4)} = 0 >>552
＞ステップ1：2つ封筒があって自分が選んだ方が大きい方の確率は50%
これはわかります
＞ステップ2：自分が選んだ封筒は1万円であることが分かっているので、「自分が選んだ封筒が大きい方である」と「自分が選んだ封筒が1万円で大きい方である」は事象として等価
違います
「自分が選んだ封筒が大きい方である」は、金額がいくらでも成り立ちますが
「自分が選んだ封筒が1万円で大きい方である」は、同額が15000円のときは成り立ちません。
この場合、事象としては起こりえないので0％になります。
＞ステップ3：事象として等価なので確率も同じ50%
「自分が選んだ封筒が大きい方であり、1万円である」
と
「自分が選んだ封筒が小さいで方り、1万円である」
の事象が等価（50％ずつ）ではないのです。
なぜなら
この二つは、封筒を用意された時点で
総額が15000円なら
「自分が選んだ封筒が大きい方であり、1万円である」（100％）
と
「自分が選んだ封筒が小さいで方り、1万円である」（0％）
総額が3万円なら
「自分が選んだ封筒が大きい方であり、1万円である」（0％）
と
「自分が選んだ封筒が小さいで方り、1万円である」（100％）
になるからです。
この2つの世界の分岐が50％ではないのです。 このように封筒に入っている金額の平均値に対する割合としての増減額の期待値Eを計算するのならば、封筒を開けた中身を知った後からでも増減期待値0と示せる。
(A, B) = (1万, 2万)のとき、交換時増減額+1万、平均額(A+2A)/2 = 1万5000
(A, B) = (1万, 5000)のとき、交換時増減額-5000、平均額(A+A/2)/2 = 7500
E = (1/2) * (+1万/1万5000) + (1/2) * (-5000/7500) = 0 >>555
まーた間違えた
「自分が選んだ封筒が1万円で大きい方である」は、同額が15000円のときは成り立ちません。
じゃなくて
「自分が選んだ封筒が1万円で大きい方である」は、同額が30000円のときは成り立ちません。
ややこしすぎてむり >>555
ステップ2を否定するの？
A：自分が選んだ封筒が大きい方である。
B：自分が選んだ封筒が10000円で大きい方である。
最初の封筒が1万円だって分かってる時点でAの時は必ずB。Bの時は必ずA。AとBは等価だろ。
違うっていうならAだけどBじゃない、BだけどAじゃないケースを言ってみろよw >>558
＞A：自分が選んだ封筒が大きい方である。
＞B：自分が選んだ封筒が10000円で大きい方である。
＞最初の封筒が1万円だって分かってる時点でAの時は必ずB。Bの時は必ずA。AとBは等価だろ。
＞違うっていうならAだけどBじゃない、BだけどAじゃないケースを言ってみろよw
こうじゃなくて
＞A：自分が選んだ封筒が大きい方である(だたし中身はわからない)
＞B：自分が選んだ封筒が10000円で大きい方である。
こうですよね
Aの時は必ずBになるとは限らない
2万円のときがある
＞最初の封筒が1万円だって分かってる時点で
Aの事象が50％であるとき、この前提条件がついてない >>559
>2万円のときがある
だから1万円だって分かった後の話だって言ってんだろ。いい加減にしろよ、ボケwww >>560
＞だから1万円だって分かった後の話だって言ってんだろ。いい加減にしろよ、ボケwww
ボケとはなんだ
1万円だと分かったあとの話なら
どこから50％がでてきたの？ >>560
1万円だとわかったあとの事象の確率と
1万円だとわかってないときの事象の確率
は
違う
から、これを一緒のモノとして確率を50％と結論づけるのは間違いってことですよ？ 問題のモデルの二つの封筒の中身を（a，2a）とするなら，最初に引く封筒の期待値は1.5a
それを開けようが開けまいが，残った封筒の期待値もまた1.5aで変わらない
頑なに1.25倍を主張している人が暗黙に想定しているモデルは
自分の持ち金2aを，二つの袋（a，4a）のいずれかと交換するか？というもの
この二つのモデルは全く性質が異なります >>561
ステップ1だよ。
もっと簡単に言うと1万円はxでいいんだよ。
自分の選んだ封筒が大きい方ならもう一方は0.5x
自分の封筒が小さい方ならもう一方は2x
お前はステップ1の自分の封筒が大きい方である確率は50%って認めてるんだから0.5xの可能性も50%だ。
違うというなら、自分が選んだ封筒が大きい方だけどもう一方が0.5xじゅないケースを言ってみろ、ボケwww 誰も過去レスを読んでないから同じやり取りがループしている 1.25倍っておもっちゃう人が一番詐欺とかに騙されやすい人だから気をつけて >>564
＞ステップ1だよ。
だから、ステップ1のときの事象と、ステップ2のときの事象は、「あけた中身に1万円が入っていた」という条件が加わってるから違うモノでしょ？
それを同じだから50％だというのはおかしい
＞自分の選んだ封筒が大きい方ならもう一方は0.5x
＞自分の封筒が小さい方ならもう一方は2x
そうだよ、でもここには、x＝10000 という条件はないよね？
＞自分が選んだ封筒が大きい方だけどもう一方が0.5xじゅないケース
とかじゃなく、そもそも前提条件違うものを比べるなって言ってる
あとついでにいうと
＞自分の選んだ封筒が大きい方ならもう一方は0.5x → ふえる確率は0％だよね？
＞自分の封筒が小さい方ならもう一方は2x → ふえる確率は100％だよね？
どこに50％っていう数字があるの？
どこから50％っていう数字を導き出したの？ >>563
これだよこれ
だから変えても変えなくてもいっしょ 問題のモデルをもう少し噛み砕くと，例えば（a＝5000円，2a＝10000円）のうち最初にどちらを引くかは五分五分
開封したところ金額が10000円だったとして，それがaか2aのいずれにあたるかは判別不能
そうするとこれがaにあたるか2aにあたるかも五分五分と思うかもしれないが，それが錯覚
最初の時点で定義上10000円＝2aであり，残った封筒の中身は確実に5000円
逆に引いた封筒の中身が5000円なら，残った封筒の中身は確実に10000円
換えた方が得かどうかを問うなら，客観的には最初に引いた封筒がどちらかによって異なるが，
引いた当人の主観ではそれは判断できないこと >>563
それは>>540と同種の間違い。封筒を開ける前ならそれであってるけど封筒を開け中身を確かめた後はその考えはとれない。
「問題のモデルの二つの封筒の中身を（x，2x）とするなら，最初に引く封筒の期待値は1.5x」
これは最初に引く封筒Aの期待値E(A)が
E(A) = E(A|A<B)*P(A<B) + E(A|A>B)*P(A>B)
= x*(1/2) + 2x*(1/2)
= 3x/2
であることから正しい。
「残った封筒の期待値もまた1.5xで変わらない」
これは残った封筒Bの期待値E(B)が
E(B) = E(B|A<B)*P(A<B) + E(B|A>B)*P(A>B)
= 2x*(1/2) + x*(1/2)
= 3x/2 = E(A)
であることから正しい。
しかし、「このスレの>>1における２つの封筒問題」の設定通り、封筒Aを開け中身が1万円であると確かめたあとは(x, 2x) = (10000, 20000)の場合と(x, 2x) = (5000, 10000)の場合という2つの可能性に絞り込まれる。
(i)： (x, 2x) = (10000, 20000)の場合
A = 10000 < Bより
E(B|i) = E(B|A<B, i)*P(A<B, i) + E(B|A>B, i)*P(A>B, i)
= 20000*1 + 10000*0
= 20000
(ii)： (x, 2x) = (5000, 10000)の場合
A = 10000 > Bより
E(B|ii) = E(B|A<B, ii)*P(A<B, ii) + E(B|A>B, ii)*P(A>B, ii)
= 10000*0 + 5000*1
= 5000
P(i) + P(ii) = 1 かつ P(i) = P(ii)なので
E(B) = E(B|i)*P(i) + E(B|ii)*P(ii)
= 20000*(1/2) + 5000*(1/2)
= 12500
したがって残った封筒の期待値は12500円 >>570
「例えば（a＝5000円，2a＝10000円）」
これは>>571における
(ii)： (x, 2x) = (5000, 10000)の場合
という仮定のもとに限定されたときのみに成立する話。 >>571
E(B|i) = E(B|A<B, i)*P(A<B|i) + E(B|A>B, i)*P(A>B|i)
E(B|ii) = E(B|A<B, ii)*P(A<B|ii) + E(B|A>B, ii)*P(A>B|ii)
と書くべきだった。 >>572
X＝10000円でもかまわない
その場合，最初にある二つの封筒は（10000円，20000円）だったというだけのこと
いずれにしても，確率的に不確定なのはいずれの封筒を選ぶかのみ
二つの封筒の中身は選ぶ前に確定しており，
一方を選んだ時点で他方が変化するものではない
この場合は客観的には換えた方が得ということになるが，
期待値？は確実に2倍であり，1.25は出てこない
またいずれにせよそのことを引いた当事者が知るすべはない 封筒の選択者にとって不明なことは，単に不明なだけであり未確定なわけではない
最初の選択により確定された状況を変更するか否かを制約する環境に不確定なことは何もなく，
そこでの期待値計算など無意味 （ｘ，２ｘ）の内，ｘを引いたら（0.5ｘ，2ｘ）の，
２ｘを引いたら（ｘ，4ｘ）の二択に変化するというなら
期待値は1.25倍だが，はたしてそんな問題だったか
引き直すにしても，最初にｘを引いたら（ｘ，２ｘ）の
最初に２ｘを引いても（ｘ，２ｘ）の二択の戻るだけでは Aが封筒に5000円と1万円を入れる
A「片方の封筒にはもう片方の2倍の金額が入ってるよ」
Bが1万円の封筒を引く
B「もう片方の封筒には5000円か2万円が半々の確率で入っている！！」
→そんなわけないただのBの妄想
Bの妄想でAの封筒の準備に介入できるわけじゃない
この部分にループがあるからパラドックスになる 期待値変わるわけないけどであれば
5000円が2/3
20000円が1/3
となるけど
考え方間違ってんのかなあ >>221
これ
一発勝負に期待値なんて意味ないよな >>571
封筒を開け中身を確かめた後は変わるって
中身の金額によって判断が変わるならわかるけど
中身がいくらであっても中身を見たら交換したほうか得になるって変だと思わないの？ 期待値とか言ってマウント取ってる奴はアホ
1万が5000になるか20000になるかのギャンブルみたいなもの
当たれば得外れれば損ってだけ こんなのどこまで行っても1/2でしかないだろ
金額なんて関係ない、中身を見たからって交換する意味がないわ >>571
「封筒の中身を確認した時点で期待値が変動する」って意味不明
「Aの封筒を開けることにしよう。しかしAの封筒にa円入っているとしたら、Bの封筒には0.5a円か2a円入っていることになるから期待値は1.25a円。Aを開けるまでもなくBの方が得だからBを開けよう」ってのとどう違うんだ？ ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
