0.9999… =1が納得できない人へ [303493227]
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【瀬山 士郎】0.9999… =1が納得できない人へ。集合を使ってその理由を解説します。
2024年2月21日 6時0分 現代ビジネス
0.9999… =1がどうしても納得できない！
はじめに、集合の定義の問題にちょっと触れておきます。
集合とは、ある一定の条件を満たすものの集まりとして定義されました。その条件は数学的にきちんとしたものであるならなんでもいいし、別に数学的でなくても、普通の判断で、あるものがその集合に入るかどうかがきちんと判定できるものならなんでもいいということになっていました。
この定義には何も問題がないようにみえます。ところが、少し精密にものを考え出すと、気になるところが出てきてしまうのです。
たとえば、高校生や大学生でも悩む問題に、
0.9999… = 1
があります。とくに高校生は、0.9999…がどうしても1ではなくて、1との間にほんのわずかの隙間があるように感じるようです。
では、こんな感覚を残している人に、0.9999…が自然数の集合に入るかどうか尋ねたらどう答えるでしょう。そもそもこういう疑問を持った人にとって、自然数の集合がそれほどはっきりと区別された対象として理解できるのでしょうか。皆さんはどう思いますか。
https://news.livedoor.com/article/detail/25912563/ 0.9999…は自然数!? では、実数って？
じつは、これは自然数1 の表現の仕方の一つで、0.9999…は自然数の集合に入ると考えられます。
つまり、集合に入るのは、数1そのものであって、どのように表現されようとも、数1は「自然数の集合の元」と考えられます。
しかし、単純な循環小数でもこんな疑問がわくのだから、実数の集合ともなるともっと曖昧模糊（あいまいもこ）としてきます。
集合とは、はっきりと確定したものの集まりです。したがって、実数とは何かについてしっかりとした概念を持っていないと、実数の集合は、集合としての基礎がグラグラと揺らいでしまいます。
ただ、ここでは実数の問題には深入りしません。他の記事で使うことを考えて、ここでは「実数とは有限小数、または無限小数で表される数のことをいう」としておきましょう。 これはちょっと 3 秒くらい考えればわかることだと思いますよ 1は3では割りきれない
これが答え
世界とは曖昧なのだよ😂 >>3
良くはないよ
厨房のときに必ず疑問に思うでしょ
疑問が解決するのはだいぶ先だからね 1と0.999...の間に何もないんだから同じだろ これで分かるやついるのかよ
本の抜粋だからしょうがないのか 1を3で割ってから、その答えに3掛ければいんじゃね？
ダメなん？ でも納得できずに考え続けられたヤツの方が数学できるようになってたな 割り切れないという不思議。割り切れるという不思議。 ＞ただ、ここでは実数の問題には深入りしません。
こういうことやるから数学が敬遠されるんんだよ 中学生の頃に好きだったに告白されたけど付き合えなかった
けど実質童貞捨てたようなもんだよな 差がわからんレベルの桁数になったら現実的には1でいいけど
数学的にはどうやってもイコールにはならんやろ 「0.9999…一つ！気持ち多めね！」「あいよ！気持ち多め一丁！」
こういうわけ 数学の世界じゃ有効4桁で=1にしていいんだ
そういう問題であってるのかこれ？ これ逆に整数空間に実数表現も含まれる訳でさらに混乱するだけやろww 循環小数は目盛りをいくら等分しても測れない数だよ
測れないことと存在しないことは違う 2022.09.09
# 数学史
# 数式
0.99999…=1と…99999=－1はどちらも正しい！ なぜ？どう考える？
9月9日におどろく「9」の話
…99999イコール?1!?
9月9日の今日は、「9」にちなんだ話をしましょう。
『銀河鉄道999』のように、9を並べるだけで、ふしぎな数学の世界が広がっています。
次の2つの式をご覧ください。
0.99999…=1 (1)
…99999=?1 (2)
(2)式は一般的な書き方ではないので説明が必要ですが、両方とも正しい式です。ただ、この2つの等式は「住んでいる数の世界」が異なります。
いったいどういうことでしょうか。
https://gendai.media/articles/-/99067 >>37
これを疑問に思うのはまだ算数レベルのとき
すべてを解決するためには大学にいかないといけないからね 0.0000000000000000000…側のこと少しでいいから考えてあげて 1/3=0.3333...
(1/3)*3=0.3333...*3 1/3=0.333333....
両辺に3をかけると
1=0.999999....
Q.E.D これ数学専門の人は意味分かるの？
論点がいっこも分からないｗ 上に出ているように
１わる3かける3は=で1にならないと困る。
だから0.3333...は1/3。0.9999...は1に決めた！決めたから！こういうルールにしたから！
我々は上の理解でいいんですね。 この記事何の説明にもなってなくね？
そもそもじゃなんで0.9999…は自然数の集合に入るのって話でしょ >>47
集合で無限を扱う方法を言いたいんだが
序章の始まりぐらいで終わってるだけだと思う 等比級数で0.9、0.09、0.009、…を無限に足す計算をさせる方が分かりやすくね？ そもそも0.999999…って数学的に書いていいの？ 「…」の数学的定義がその数列の収束先の極限値だからそうなりますとしか言いようがない
数列の任意の項取ってきても1にならないじゃんっていう直感は正しい
定義がわかりにくいというだけ 言われてみれば0.999・・・も1も3で割り算したら等しいから元の数も等しいか
つまり小学生みたいに99.99999999って言うのは意味ないってことか 極限とかって直感と違うこと多いよね
文系は0で割ったら♾って言い出すバカ多い 普通の数学だと厳密に同じ
単に同じ数字に二種類の表記方法が割り当てられてるだけ ∀ε>0,|a-b|<ε⇒a=b
0.9999...の定義から1と0.9999...はこの命題を満たすからイコール 実数空間と整数空間の差をとって
0.999...は整数空間に属する
整数空間で対応できるのは、1しかない。
つう話をしたいんやろなあ、、
でも、集合理解できる奴は無限も理解できるよろ。 もうこれさぁあ～0.9999… =1が分からない少年って本が必要だよ？ これって数Ⅲの内容だよね
自称高学歴のケンモメンはなんで理解できないの？🥺 2chじゃネタにされがちだけど接客業とかやるとマジで四捨五入が理解できないチンパン未満の人間で溢れてることが分かる で、俺は試験管として0.9999… =1を証明してご覧つって少年に鉛筆と紙を渡すわけ、分かります？ >>20
その理屈を使うなら0.333…=1/3を証明しないとね 1/3=0.33333333…
0.333333333…×3=0.9999999999…＝1 難しいとかじゃなくて疑問を持つのは小中学生だけど
小中学生の算数・数学では解決されない問題のひとつってことね
適当にスルーされる 高校でも出るけど定義を覚えろ以上のことはやらんような 納得できない人へ
ではなく
割り切れない気持ちの人へ
にして欲しかった そうしてしばらくして返ってきた答えをみて何だいこりゃあああああああってビビる寸法ってワケ 1はなれてるけど↓みたいなの書くといきなり気持ち悪いよね
2.34=2.33999.... じゃあ数字が"大きい方"が勝ちのゲームしようぜ、俺は1選ぶからお前0.9999…ね、この電卓(12桁)でな！好きなだけ9打っていいぞ。
条件次第でしかない。 今このスレを見てちょうどあの本の人と同じ気持ちなんだよね、そういうこと 9÷3なら割り切れる 10÷3だと割り切れない 1つ違っただけなのに 割り切れないとは割り切れない 何故だ何故 謎だ謎 ある数学の本には「＝」の定義の問題にすぎない、と書かれてた >>83
院卒です
0.333…=1/3が自明だったら0.999…=1も自明だろ …の定義の問題だからあまり考えでも無駄だよ
1/3=0.333…を認めるなら0.999…=1は違和感ないし 先日安売りされてたエナジードリンクみたいな缶飲料を買ったら
まず原材料を見たんだけど野菜やら果物やらがたくさん書かれてあって
ヘルシーだなと思いながら表面を見たら「無果汁」
納得できなかったわ 数学的な説明では到底納得できなかったが、初期宇宙理論の無の揺らぎの話を聞いたら納得できるようになったわ
極小世界において、存在と無は不確かと思えば造作もない 0.9999…=1だとしていくつ小数点以下が付いたところから１になるんだろう？
0.9=1ではないよな 2/3に3かけたら2.0000…になるのと一緒だ
決して0以外の数字は出ないが2ではない
気にするな これを受け入れたところで数学が理解できるかと言ったらそうでもないんだけどね 数学で習ったときはいまいち納得いかなくて半ば暗記で済ませてたけど社会科で信用創造習ったら一発で理解できたわ
金の計算に置き換えると実感が湧くんだよな たしかに安倍晋三が限りなく犯罪者に近いカタギって言われても＝犯罪者でいいわ 10進数の表記の問題で
3進数なら何もの問題にならない >>105
際限なくつくから同じものになる
どこかで止めた瞬間別物 1/3=0.333...
3×1/3=0.999...=1
↑いや、0.333...が1/3を前提にするなら0.9999...=1でそもそも良いよね？
a=0.999...
10a=9.99999
9a=9
a=1
↑9a=9.000...9だよね？
誤魔化してるんじゃねぇよ 0.99999…という表現が不適切だからいけないんだろ
「0.9999…と9を果てしなく並べていった数字は何に近づくか？」
と聞いたらそこらの猫でも1と答えるだろ >>105
いくつで止まっても駄目なんだよ
無限に続くって家庭があるから=1になれるの 小学生の時にこれ聞いたら高橋先生にはぐらかされて以来算数面倒になった
髙橋先生許せねえわ >>112
じゃあ君の意味する…の定義を教えてくれ 0, 0.9999 ... , 1
字面だと↑の感じをするんだけど
実は無限小を定義してないから
どっちかつうと 1としてあつかうしかないって話で
無限小数の話とは違う ＝１にできるなら
＝２でも＝１０でも＝１００でもいいくらいだわな やっぱ記事ソースが悪いんだな
≒の話してるケンモメンいっぱいいるじゃん >>0.9999…
ってやってもレスつかないから1じゃない
はい論破 宇宙の話とかになると
速く動けば時間の流れが遅くなるって話があるが
人間は知覚できないし
時間の流れは一定で納得してるじゃない >>125
この頃の板垣はもう帰ってこないんだよね 1/3=0.333...
0.333...*3=0.999...
1=0.999... 有理数とは、とか実数とは、みたいな話に進めていって
簡単な説明ならデデキントの定理みたいな話に持ってけるんだけど
小中学生の先生はそこまで説明してくれない
いいことなのか悪いのかは判断しかねるけど
小中学生でも理解できないものでもないから
興味を持った子には話を広げるのも悪くはないと思うね
ま小中学生なんて教えたことないからしらんけどな 厳密にいくと確率でしか観測できないからな
ほなら1でええやろって話 数字というもの自体が人間が発明したものなので、なんでもありと言えばあり めずらしくこの手の話題で正しいこと言ってるな
ただの表現方法で証明することとかじゃないんだよねこれ >>131
右辺の計算無限につづけてろ
省略すんな そんなことより反社会的政党自民党が政権運営してることの方が納得できない 10進数だから0.999...って循環してるだけじゃないの？ 割り切るってこと自体、自然には存在しないのじゃよ… 0.00000… …00001の差なんて無いようなもんだろ
普通に考えたら1だろうなってのは想像つく。 まあ数学者も、厳密なところ考えると混乱してきたので、デデキントの切断とか言い出す必要があったんだけどな ボクが教えてるね
健常者が1人います
身体障害(腕無し)が1人います
腕が無いからって0.9人とは言わないよね >>105
有限個の9を並べても1にはならない
「どんなに1に近い(1ではない)数を提示されても有限個の9をつければそれよりも1に近づけられる」がこの式の意味 >>147
ようするに「つじつま合わせめんどくせえ！ だいたい1で行くぞ！」ってだけだな >>108
逆に信用創造が納得できないわ
なんか騙されてる気分になる 1よりも小さいけど最も大きい数は何？って答え作り忘れただけなんよ。
それを a と置けば
1 - 0.999... = a
なって世界が平和だった これって数学的に決めたルール上イコールになってるのかルール関係なく本質的にガチのマジでイコールなのかどっちなの 納得できないって言う奴は
0.0000… …000001の差が何をもたらすのかを説明してくれよ。できないならそれはもう無いようなもんだ >>150
安倍晋三は個にして全
人の心にそれぞれの安倍晋三がいる >>157
1 2 3 4 5って数字並ぶのが実はガチじゃない >>158
数学は抽象化された数を扱う学問だからそこは重要なんじゃないか a=0.99999…
10a=9.99999…
10a-a=9
a=1 >>157
数学はすべてルールだけだ
自然界には数字などと言うものは存在しない
人間の頭の中にだけある作り事のルール >>157
極限というルール上のもの
循環小数とか∞なんかは極限 
マジレスするけど、an=Σ0.9×10^(-n)として、実数列{an}がコーシー列であることは自明であるから、実数の連続性により収束列である
anの上限が1であることは明らかであるから、単調収束定理よりliman=1である
従って、0.9999....=1である >>157
本質的にマジのイコールなんて自然界では作れない >>25
割り算はアルゴリズム的に無限に終わらないことがありえるが、掛け算はそうじゃない
俺らが学校で習った、「普通の掛け算」は、有限回で終了するのしかない
そういったいわゆる掛け算が、無限桁に対しても実行できるかどうかは、別途証明が必要
まあ、数学史的には、２０世紀はじめに実際証明され、有限桁と同じ掛け算が無限桁でも実行していいというのが結論だけど >>163
知らんけど現実に当てはめて考えればあるかないかって大きな差なんじゃないか
抽象化した数の議論ならなおさら大きな差になると思う 左辺は数列上に存在する一つの数に見えるのに実際は極限操作をするのが定義だから、そこで直感と違うってなるんだと思う
超準解析の超実数使うと左辺は「1に無限に近い1のmonad」として定義できて、その範囲では等号成立しないから直感に合うはず >>171
そもそも数字を完璧に現実に当てはめることは可能なのか。 >>164
数字て時間につけた名前のことやけど
時間が存在しないっていうのと同じやん🥺 1/3=0.333333…の説明はなんかズルい気がする
極限値の説明のために極限値使ってるやん 簡単に言うと0.9999999......という数字は存在しない つまり宝くじを買い続けるって事は当たってるって事でいいのか？え？ ちょっと欠けててもお札使えるけどちょっと欠けてたらゴミになる新品
1になるかどうかはその時次第 実用上1でいいと思うけど
でもイコールかと言われれば違うだろ >>157
ガチのマジだよ
例えば3メートルを1ケンモって長さだと仮定する
1ケンモを3等分した時の長さは0.33333...と無限に続く数字になるけどメートルに治すと1メートルってピッタリになるでしょ
1/3という数字が数学的に割り切れ無いってだけで0.33333....ケンモは存在する
こう表現せざるを得ないってだけの話 >>175
典型的な勘違いで無限小数の話にしてるな。
並びの問題で無限には前後が無いって話の方が本質 >>173
知らん
でも0×∞と0.00…01×∞は明らかに違くないか？
0=∞になっちまうよ これ証明しようとしたら大変なんじゃないの？
むしろ証明ってされてるの？ >>1
こういうのをわかりやすく説明してくれる文章かと思ったのに、何言ってるか全然わからん文章だな >>161
そこの「差」を論理的に扱えるようにしたのが、いわゆるε-δとかの極限
数学史的概念でいうと、数学の算術化とか、ワイエルシュトラスの厳密性とかがキーワードだから、興味あるならその辺で調べれば細かい話出てくるぞ
>>183
収束してるなら同じやん
頭悪すぎやろ >>182
安倍晋三は一人しか存在しないが
みんなの心の中にそれぞれ安倍晋三が存在する
じゃあ安倍晋三は何人なのか？
はい論破 ～0.9999… =1が分からないケンモ達って本必要じゃない？ >>190
3人の子供がいました。
日本人 黒人 白人ハーフです。
黒人グループと日本人グループしか無いとします。
白人ハーフはどちらに入るでしょう。
つう話しの導入 じゃあ if 1.0f==0.9999f)は=になるんか？ >>174
じっさいに時間というものがあるわけではなく
状態変化を時間と呼んでいるだけだ >>196
みんなの安倍晋三は共通の安倍晋三
安倍晋三を思い浮かべるときに中曽根康弘の顔が出てくる人はいない
はい論破 >>193
俺高校数学寝てたからわからばいんだけど、そういう大学数学ってどれくらい高校数学できればいいんだ？
受験参考書だとどれくらいできればいいの？ 1と0.9999999999999999999…
の境界はあるのかね？
ひたらすら無限に9が増えて行くだけだろ >>46
1/3=0.333333....とすると
両辺に3をかけると1に戻るはずだから
1=1としか言えないので証明にはならない
0.333333... ×3=0.999999...
であることを別途証明しなくてはならない >>197
ケンモに限らずわからんのは一定数いると思うよ
しかしこういう表現が可能なのは人間の発想の面白さであるよな ケンモさんさぁ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・いいの？それで？ 右方極限と左方極限は違うだろ
1/（x-1）
のxの値を考えた場合、
x=0.99999…とx=1は違う
前者は－∞だが、後者は値がない >>205
どっちかつうと境界が無いから同じにのる。つうのが正しいな >>112
あ、それは
10a=9.99999
ではなくて
10a=9.99999...
だから計算間違いでは >>202
時間軸想定しないと空間座標上のAがBに変化できなくない🥺 >>207
分かる分からんじゃなくて納得するかどうかだけでしょ
答えが1ちがうだけで×つけられてきたのに、ルールのほうが
「0.999…は最後の1が足りなくても1とする！」とか言い出したら
「ちょっと待てやオォン？！」ってなるでしょ >>166
解析概論の序論に書いてあるけど、その辺は必ずしも自明じゃない
どうしても循環論になるので、コーシー列なりデデキントの切断なりで、実数は天下り的になんらかの定義与えておき、そこから演繹されるとするのが正しい
ソースは先に述べたように高木貞治「解析概論」 >>197
分かったつもりになってるだけやろお前
理解してないで論破してる気になってるひろゆきのなり損ないのケンモ達
の方が正しいわ >>210
前者を-∞にするためにはまず0.9999…≠1の証明が必要になるのでは
>>210
普通にlim x→1-0と書くべきであって、0.999....に左極限の操作が含意されてないからただの屁理屈やん
ガイジ？ ほらな
俺の中の安倍晋三 ＝ お前の中の安倍晋三
俺の中の安倍晋三 ≒ お前の中の安倍晋三
やはり=か≒かまずここの問題理解してないやつ多いじゃねえかよ
やっぱりお前の中の安倍晋三は俺の安倍晋三じゃねえんだよなー だってよく考えてみ？三等分のケーキの図をみたらさ、アッ・・・・・・・・ってなるでしょ分かるでしょ？ この考え方だと
0.000000....と-0.000000....
の間の説明ができないじゃん >>208
現実でも収束はするぞ
落とした高さの0.6倍跳ねるスーパーボールがあるとする
1mから落としたら次の最高点は0.6m、次は0.36m、次は0.216m...って無限にバウンドするように思える
でも最高点から次の最高点に到達する時間がどんどん短くなるから無限回のバウンドが最終的には終わる
アキレスと亀だね
>>218
解析の入門テキストを読んでんなら自明だろ
アスペ？ >>228
ケンモさんさぁ････自明ってどういう意味？？？？？？？？ x=0.99...
10x=9.99...
10x-x=9
9x=9
x=1 お前ら何故「今」「ここ」にそれ以外では無い「自分」として存在しているのか？
そもそも存在とは何なのか？とか何も知らん癖によく0.99999...=1とか抜けしゃあしゃあと言えたもんだな全く 0.9999999…
=0.9＋0.09＋0.009＋0.0009＋…
これは
初項0.9、公比0.1の等比数列の和を無限に足したもの
初項0.9、公比0.1の等比数列は
ak=0.9✕0.1^(k-1)
この数列の和は
Σ0.9✕0.1^(k-1) ※kは1からNまで
=(1－(0.1)^N) / (1－0.1) ✕0.9
上記式のNを無限大にすると
1/0.9 ✕0.9
=1となる 🥺🫶 ワイはむしろ完全な整数の円の外周が存在しない事に納得出来ない
>>229
入門書でもあるまいしいちいち実数の構成なんかやらないってだけ
つーか解析概論はそこに無駄に尺取りすぎ 1/3=0.333333333…
1/3 × 3 = 1
0.333333333…× 3 = 0.999999999… = 1 >>230
これはなるほどなーって思った
おまえらエラソーに講釈垂れておいて
文章ですらない式ひとつに負けるって
まじ頭でっかちなだけの無能なんだな😅 無限って言い出した奴が
無限の1つ前を決め忘れたのが悪いんよ。
1つ前を決めておけば=にする必要無かった。
社会と同じで無能が適当に決めると下っ端が苦労する話や 円周率が3でいいなら0.9999なんて確実に1だろ 宇宙が無限じゃないなら0.9999…=1であってる 無限に9が続く0.999...に何足せば1になるかって考えたら0.000...で無限に0が続く >>228
手元にあった解析概論の該当ページ、アップしとくから読めよ
ここに書かれてる４つは同等で、どのひとつを公理として採用しても、他３つが導ける
どれが自明というわけじゃないし、「どれでもひとつを公理としても良い」
https://i.imgur.com/v6HGwl3.jpg >>240
一般の数字のみの表記に違和感あるって話なのに新たな文字使うのは反則やろ🥺 虚数も実はよくわかってないんだっけか
存在は確認できるというだけで
>>251
さっきからガイジ発言が多いけど学部生か何か？
実数の連続性を知ってりゃどう考えても自明だろ
解析概論wwww如きで調子こきすぎ >>232
hの高さから自由落下で地面につくまでの時間は√2h/g
最初は1m、次は0.6m×2(往復だから)次は0.36×2....
だからトータルの時間は
limΣ√(0.6)^k/gに√2h/gを足した時間になる 1/3×3＝1って教えられてるのになんで理解出来ないのか理解出来ない 本当にイコール？
有理数だとそうかもしれないけど無理数まで考えたら0.9999999.....と1の間の無理数も本当にないと言えるの？ >>254
複素数は２次元のベクトル（x.y）と一対一の対応関係があり、演算的にも同等になるから、虚数=ベクトルとみなしてもいい >>240
こんなもん証明じゃなくて馬鹿を納得させるための感覚的な説明だぞ >>256
いや、だから、高木貞治が「これ循環論だよ」って言ってるんだって >>259
1/3みたいな表記使わないで書くとこういう表記になるって話なのに
使ったら意味なくない🥺 >>260
背理法で無理数があると仮定して、収束の定義と矛盾したらＯＫ >>235
半径が1/πの円の外周は2じゃないの？ >>265
なるほどどつやってないこと証明するのかと思ったけど背理法を使えばいいのか ケンモさんさ？り、りり、理系？でしたっけ？違いましたっけ？ケンモさん？
>>263
実数の連続性というのが何の循環論なの？
公理だって理解してんの？ 1+2+3+…=-1/12
のほうがうんこ漏れそうになるだろ 時間の最小単位ってのが観測されて決まってるらしいんだけど、それも０が34こ並んでるくらいで終わりなんだよね。事実上、我々は0.9999...なんてものに出会うことはないので１わる3かける3は0.999...の=で1でいいんです。 >>204
単なる好奇心で、学説や論争の流れ知りたいだけなら、ものによっては高校程度の数学知識でも追えなくもないぞ
そういう趣旨で一冊オススメ挙げるなら、岩波文庫「ゲーデル不完全性理論」の、後半部分の解説だけ読むのとか
解説部分はほとんど数式出てこない、時代背景の歴史の話 >>227
現実ではそこに摩擦や空気抵抗などがあり最終的には終わるだろうが
物理学的には終わらんやん >>1
こういうこと言ってるやつも結局はわかった気になってるだけで実際は分かってないんだよな
昔の偉い人が書いた説明書を人伝いに読んだだけで分かった気になってるだけ
本当にわかってるのはその説明書を書いた人だけだから
その人がそうだと言ったからそうだと思ってるだけ本当に理解できているわけではないから人に偉そうに教えれる立場ではないんだよな 引いてみろよ
0.000...とセロが無限に続くんだから1と同じ >>269
読んで分からんのならもういいや
喧嘩っ早い知ったか素人相手にしてるのは不毛すぎるし
一言だけ言っとくと、本文では4つとも（定義や公理じゃなく）「定理」として扱われてる
そこに注意して読め直せ 「悩み」という言葉遊びで片付けていいの？ツェノンの亀みたいな思考実験楽しめ >>270
何かと勘違いしてるだろそれ
a=n
S=n(n+1)/2
n→∞のときS→∞じゃん まず無限小を定義する
極限で0に収束する数字や
すると
1と0.999...の間には、無限小が置けることになるので
1=0.999...を支持するということは
無限小が実在しない証明をしないといけない 豆腐が一丁とかいうけど内部は絶対に1個じゃなくて0.9999ぐらいになってるよね
1個というのは実は難しい
リンゴも欠けたりしてないツルツルもないし 0.9999… =X
10X-9X=X=1
これがおおっ！ってなったかなぁ 2進数で0.11111111…
これはいかほどなん 1mというのも適当だろ
きっかりなんてミクロで測っても更に下がありそうだし >>274
いやバウンドの時間が収束するから摩擦や空気抵抗関係なしに止まるよ 0.999…=xとおく
10x-x=9
x=1
証明完了 小学生レベルのゴミクズ多すぎて草
それお前と同程度の知能のガキを黙らせるための厳密性皆無の簡易説明だからw 0＝1の証明みたいなジョークでも何がおかしいか伝わらないんだろうなw 0.安倍晋三三三三三…＝1/安倍晋三
両辺を3倍
0.安倍晋九九九九九…＝1/安倍晋一 1 - 0.9999.... > 0
は自明だよね
だったら等号で結ぶのはおかしいよねって当然の話ね 今からバナナの話ちょっとするね。
100のバナナを１束ということにするね。
左にあるのが1束で100本 右あるのが1束で100本。
すると右と左は同じだよね。
ちょっと調べると左は3本、右は1本腐ってた。
ということはイコールが崩れちゃった。
こういう話には日常的に出会う可能性がある。
でも0.999...なんでしょ？純粋に数字の問題だよね。
すると3わる１がなぜ0.333...になるのか考えないといけないわけだよね。
でもそこから詰まってるわけだよね。 >>287
絶対値じゃなくて世界に対する相対尺度だから良いんだよ 小数点が曖昧だと感じるなら厳密に
1 = lim[n→∞] Σ[k=1, n] 9 / 10^k
とすればいいんだけどな >>295
左辺の答えちゃんと計算しろ
0.00000…になっていつになっても1が出てこないんだぞ >>294
…表記の掛け算が成立するかどうかから定義が難しいってレス結構見るが？
じゃあ…状態の安倍晋三はどういう安倍晋三なのかって話だよ >>283
0.9999…=1は実数の定義そのもので無限小の存在とは矛盾しない 理論的にはそうなんだけど
気持ち的には違う気がする やわらかい言語で説明しようとするから却っておかしくなる
ましてや1÷3×3みたいな子供だましの不完全な方法で納得してしまう方が頭悪い >>270
S=1-1+1-1+1-1+1-1+… とすると
S=1-1+1-1+1-1+1-1+…
+)S= 1-1+1-1+1-1+1-1+…
2S=1 となり、S=1/2
次に
T=1-2+3-4+5-6+… とすると
. T=1-2+3-4+5-6+…
+)T= 1-2+3-4+5-6+…
2T=1-1+1-1+1-1…=1/2
T=1/4
U=1+2+3+4+… とすると
U=1+(-2+4)+3+(-4+8)+5+(-6+12)+7+(-8+16)+9+…
=1-2+3-4+5-6+7-8+9+…+4(1+2+3+4+5+…）
=1/4+4U
-3U=1/4
U=-1/12
やな >>307
0.9999…は1に限りなく近い数と言えます。実は、0.9999…と1の間には、どんなに小さい数でも入ることができません。
ですから、0.9999…と1は、数値としては、完全に一致すると言えます。 >>308
それで納得できたのにそれじゃダメなのかよ すまん
割り算の結果が1.349999…の場合
excelで循環小数3位を四捨五入すると1.4になるってのも循環小数のことなの？ >>306
無限小を定義する実数体系だと等式成立してないから
無限小は無いとあかんのや >>227
現実世界のモデル化と現実世界そのものを混同してて知的障害ありそう 納得できない人は「0.999…」をぼんやりと9が無限に続いているとしか認識できてない
だからそんな数は存在しないとか存在しても1な訳がないと思ってしまう
0.999…の正確な定義は「0.9, 0.99, 0.999,…」という数列の極限なんだよ
だから0.999…=1は「0.9, 0.99, 0.999,…という数列は1にいくらでも近づいていきます」と言ってるだけなんだよ https://mathlog.info/articles/3553
無限小が定義出来ると
1=0.999...は成立しない。
まあ無限大考えた奴が頭弱かったつうおちや。 >>251
等価な公理たちを循環論法と呼んでるのは知的障害ありそう >>317
循環小数を教えてから極限を教えるまで大分開きあるから 単に小数が異なる数に同じ表記を与えられる欠陥記法というだけ >>319
よく読め
公理じゃねーよ
４つとも定理
うちひとつを「公理」とみなせば、他３つが導けるという話が書いてあるんだよ
アップしてない続きのページに、その辺の証明が書いてある >>320
循環小数で思い出したけど、中高の数学は10進小数表示そのものを実数として認識させようとしてる感じだったね
そのせいで0.999…という実数が極限の概念無しにアプリオリに存在するものと思われがちなのかも >>166
こういう教科書的定義書いて自明自明言うやつも頭でっかちのバカ感ある
この説明で素朴な疑問が解決されるのだろうか
実数全順序体が偶然1つしかなかったからこれが自然な定義になってるだけで人間の直観から出てきた感じはしない
これ以外ではうまく行かないと知られてるからこれを採用してるだけというか >>321
同じ数字なのに表記方法が2つある
表記方法が違うのに全く同じだと言われるとこんがらがるってことでいいのかな 0.999...
永遠に1に辿り着かない数字列を等号で結ぶ異常性に早く気が付いた方がいい Aを1未満の実数の集合、Bを1以上の実数の集合とすると
(A,B)は実数の切断であるのでデデキントの公理により
Aには最大限がない
0.9999…<1と仮定すると0.9999…がAの最大元になるから矛盾 結局は
0.999...と1の間にある数を考え忘れただけで
おんなじもんとし扱うしか無いだけ
間の数を定義する体系では、等式は成立してない。
間にある数が無限小と言われるものなんよ。
極限とかドヤってても無限大の反対さえも定義出来ない雑魚世界に限る話 ある任意のεに対し、、、1/n0<εとなるような、、、ある自然数n0が存在する･････
そこでn0より大きくなるようなnm（ｍは自然数）を取ると以下の通りになり、収束の定義に帰着する >>322
A⇔BならばA→B→Aなことを循環論法と呼んでるのは数学やめるべき >>1
ソース見たらなんの説明にもなってなくてワロタ
ゴミ >>331
もうメンドイから、解析概論の本文読んできてくれ >>293
無理数は実数だし存在してるでしょ
虚数と勘違いしてないか >>206
全ての桁に3を掛けるんだから0.999999....以外にはならんぞ >>157
数学的に決めたルール上イコールって話だよ
小数の定義や表記法が適切アンド自然すぎて人間の直観で扱えてしまうのでそのへんあいまいになってるだけ >>337
そもそも、掛け算はアルゴリズム上「末尾」から掛けていく（筆算を思い浮かべてくれ）んたが
無限小数の「末尾」ってどこだよ？って話になっちゃうんだよ
だから、無限小数の掛け算は、意外と自明じゃない つまり0.9999…なんてものが存在し得ない証拠でしょ
量子的に考えても必ず1に近い1未満の最終近似が存在する
数学の力をもっと信じて素直に受け入れたらいい >>334
いや、君は馬鹿だからメンドイで済ませないほうがいいよ
俺1人だけじゃなくブーンのやつも言ってるだろ？相当馬鹿なこと言ってるよ
自分を客観視したほうがいい 0.9999…を1としてしまったら、0.9999…を表現することができなくなるだろ
0.9999…はラングで、0.9999…=1はパロールってことだよ
そろそろ理系脳にも限界があるって気づこうか >>341
有限と同じ感覚でそんなことやると、分母が∞とかよくわからんことになる 0.99999….をXとする
XをXで割ると1になる
みたいな使い方をするのが数学で、現実を符号化しているだけなのに、それを現実的に…とか考えるのがナンセンス >>340
繰り上がりが発生しえないから末尾は関係無いぞ
そもそも上位からかけ算しても後から繰り上がり分を計算すれば良いだけだから問題ない >>25
3割ってから3掛けると
0.00…1が失われるってことよね
その0.00…1はどこに行ったんだ？ ようやくなんでこんなに納得できない人がいるのか理解できた気がする
要は小数表示を実数の定義として認識してる人が多いんだろうね
実数は小数と無関係に定義されていて、小数表示は表し方の一つに過ぎない(だから2通りの表し方がありうる)というのが現代数学では一般的な認識なんだけど、中高で小数表示から入るせいで誤解が生まれるんだろう >>348
無限に続いてるから消えないぞ
無限の概念を理解してないから、消えると勘違いする lim[N→∞]∑[k=1...N]9(10^(-k))
=lim[N→∞](0.9-9(10^(-N-1) )/(1-0.1)
=0.9/0.9
=1
これで良いよね >>347
いや、繰り上がりがあるのかないのかさえ自明じゃない
だって、「末尾」が見つけられないんだから、一手目からいきなり普通の掛け算実行できず詰む >>355
そこは百歩譲って認めるとして1/3=0.3333…は自明か？ 確かに1未満のαをとって切断の定義と最大元が無いことと矛盾するって説明が直感的に一番しっくりくるな >>345
0.999…＝1なんだから1だろ
どこに∞が出てくる？ 納得してる奴なんていないだろ
そういうルールだからって許容してるだけ >>355
いや、それを確認するには無限の彼方の桁からちゃんと見ていかないと不明
これは、別に俺がオリジナルの理論言ってるのじゃなく、数学の論争で実際あった、史実の理論
カントールの無限集合論に生じたパラドックスに対する批判として、ブラウアーの直観主義が「無限を含む演算の禁止」を唱えた
まあ、極限概念や実数の連続性への精緻な理論ができあがったことで、無限小数をある種の収束列とみなし、通常の加減乗除演算はしても良いとなったんだが 0.999… < 1 と仮定すると
不等式 0.999… < x < 1 を満たす実数 x が存在することになるので矛盾 >>361
イプシロンデルタ論法で良いか？
1/3において、小数点以下n桁目(n>0の自然数)の答えが“3“にならないnを答えられればお前の勝ちだ
さぁ、どうぞ >>359
無限小数の分子が「整数」になるようにすると、∞/∞を掛けるとかいうなに言ってるのかさえイミフなことしないといけなくなる >>364
全然違う
そもそも0.3333…×3＝1というのは有理数列の収束先が1(有理数)のケースで可算無限と有理数体だけで扱えるだろ >>362
無限の概念に人の感覚における物理は無い
物理的に表したいから、有理数としての分数が重宝されるんだが >>364
お前も>>366に答えてどうぞ
答えられなければ「無限に3が続く」事が証明されるぞ 少数の0.999...=1とする
分数では1/3×3=１
表記方法の問題だって言われたら納得できる >>366
イプシロンデルタを使わないといけないなら全然自明じゃないだろ
そんな回りくどいことするなら1=0.999…の証明で直接イプシロンデルタを使えよ >>373
答えられなければお前の負けだ
はよ答えろよ a=0.999...
10a=9.999...
10a-a=9.999...-0.999...
9a=9
a=1
って教わった くだんないアホに対するレスバにイプシロンデルタ論法は便利過ぎてやめられないわ
絶対答えられないからなｗ >>374
俺の質問は「1/3=0.3333…は自明か？」で
自明じゃないのでお前の負け 単に同じ大きさの数には複数の表記方法があるってだけの話だよ
1/10も10/100も同じ数
0.9・も1.0も同じ和
違う数が同じになっているわけではない >>376
知らない概念振り回してるのに強がってて草 菩薩拳ほとんど使ってないからやっぱこれじゃなかったんか RoundUP、RoundDOWNで合計値が大きく変わっちゃうのに困らせられたな >>25
0.333333……×3=0.99999999999999になる理屈がよく分からのやけども🤔 >>377
その証明にお前が使われてるんだぞ
答えられなければお前の負けだｗｗｗ >>379
お前が知らないからって人まで巻き込まないでくれるか？ >>384
俺の公平な視点で見るとお前一応日本語が並んでるけど意味のある内容はまだ何も喋ってないしな 厳密にいうと0.9・なんて数は存在しない
3/9=0.3・
4/9=0.4・
8/9=0.8・
9/9=1
9/9を無理やり9を繰り下げ続けただけ >>386
無いはずのものをあると考えた時点で人類の負けやったんやね😌 >>385
お前が理解出来ないからって人まで巻き込まないでくれるか？
てか、超絶簡単な>>366を理解出来ないってヤバすぎだろ 暗黙の了解でユークリッドいそうでかんがえているが
離散位相を入れたら左辺は収束しなくなるから
当然１と一致しない >>383
1/3を最後の桁まで計算したことないからその質問には答えられねえよ 0.9999……という数字は存在しないが0.33333……から作り出せると考えた数学的な理屈を知りたいところやね🤔 イプシロンデルタはそもそも関数の収束の定義だしな全然関係ないんだよなｗ 何回立ててもこの話題は伸びるな
意外と世の中の人は数学に興味あるんかな 0.999……を10倍すれば9.99999……になると数学的理屈も教えて欲しいところ🤔
そもそも。0.99999……は掛け算可能であるって根拠はなんやろか？ >>388
ケンモさんさぁ・・・そもそもイプシロンデルタは関数の収束の定義ですよ？？？
”1/3において、小数点以下n桁目(n>0の自然数)の答えが“3“にならないn”とイプシロンデルタに何の関係があるんですか？ >>393
収束するか発散するかに使われてるだけで、この論法は別の事にも使えるってだけだ
そんな事も理解してないアホｗ >>393
関数の収束（←連続性？）に限らず
位相の話してたらよく世話になるし関係あるよ >>398
>>400のとおりね
背理法で答えが無いと言ってるのに、あると豪語してるアホに対して使えるってことだよ 0.9999•••=Σ9/(10^x)=9Σ(1/10)^x
Σ(1/10)^x = 初項1/10 公比 1/10 の無限和=1/9
9*1/9=1 さて、馬鹿どもの相手はここまでかな
絶対答えられない事が分かってるから、楽で良いわ 9(1/10 + 1/100 + ...)
= 9( (1/10) / (1-1/10) )
= 1 >>397
無限級数が収束することを暗に使ってるわね >>407
ダランベールで収束することはわかってる >>396
なんで俺が答えられなかったら自明になるんだ
お前が言ってることは詭弁だよ 超実数の世界だと0.999...≠1だし、違うということかなと思う >>397
収束する級数では定数倍と無限和の交換ができることが
一般的に示されてる
もとの級数が収束するのは上に有界で単調増加だからといってもいいし
コーシー列だからといってもいい
ちょっと専門用語多かったかも 0.999999…は明らかに単調増加で明らかに1へ上に有界だから1に収束する、とかでええか >>398
めちゃくちゃ勘違いしてるけど、イプシロンデルタは関数の収束だけの定義ではないよ
実数でも使われる 0.9999…と1の間の数を誰も答えられないから
0.9999…=1は自明ってことでいいか？ >>411
超準解析勉強したいと思いつつ詰まれたままだわ
田中先生の分厚い本 そのための分数だろ
１÷3＝0.33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333…なんだから レアケースっていうのは必ず起きるからレアケースなのであって
その0.00000000000000（略）0000000000000000000000001%を証明するのに心を折ってはいけないんだよ やっぱ0.99999……なんて数字は存在しないって決めた方が分かりやすくてええのではないやろか？🤔 浮動小数なんてコンピュータにやらせたら誤差だらけやん >>272
時間の最小単位って概念は世界を計算する計算機のクロックタイムみたいな香りがあってよい 無限に小さかったとしても差があれば違うという考えと無限に小さいものは0とみなす実数の定義の違い イプシロンエヌ論法じゃないの？
どっちでも良いんだっけ デジタルの宇宙へと島流しに遭った人類は末永く苦しみましたとさ
おしまい 0.999…が1とは異なる数字であるなら、2つの数字には差があることになり、その差は定量的に表せるはず
しかしどんなに小さな数でその差を表そうとしても、実際にはそれよりもさらに小さな差であると言うことができる
どれだけ続けても2つの差をはっきりと言い表すことができないのなら、それはもう同じ数だと言ってもいいだろ nに対し0.33・・・と小数点桁数nまで続くf(n)を考えると方針としては多分できるな >>418
ほいっ
0.999...+(1-0.999...)/2 1から0.999…を引くと出てくる数字があるんだろそれが差なのでは？ >>435
0.888…8887888… <0.888…8888… <0.888…8889888…
面白いね
一晩中眠れなくなるよ君 1/3が0.3333...で3倍が1なんだから
これが納得できないならしょうがねえよ じゃあテストで1が解答の問題に0.999…って回答したらマルもらえんのかよ >>443
差を表す数字が定義できないからゼロになるということやろかね🤔 お前らが定規で計って1㎝として測定した長さも実は0.9999cmだったり1.0001㎝だったりすると説明するだけでいいのでは >>47
論点すらわからないのは、数について真面目に考えたことがないからだと思う >>83
バカにされるべきなのはお前だけどわかってる？まあわかってないだろうねw >>44
これ分かりやすいと思った
無限小数なんだから最後の桁とか考えちゃいけないんだな
1-0.999...=0.000...でどこまでいっても0が続くだけなので当然0
なので1-0.999...=0.000...=0を変形して0.999...=1 >>125
凄いよなこの頃の板垣は
色々なことを刃牙と餓狼伝で学んだ四十代半ばのケンモジサンでつ 無限にちょっとずつ１に近づくとして
近づくって表現自体がもうダウトなんだわ みんな勘違いしてるけど、0.999…は、｛0.9,0.99,0.999,…｝の数列の中には存在しなくて、ただ単にこの数列の行き着く先を表してるだけだぞ
ただの表記の違いに過ぎない
1を違う書き方で表してるだけ リンゴで考えろよ
リンゴ１個がお皿の上にあります
そのリンゴをツンと小指の先でやさしく触りました
小指にリンゴの匂いがうっすらつきました
さて、お皿の上のリンゴは何個になりましたか？ 無限と収束の定義をハッキリ教えてくれたほうが分かりやすいと思うんだが >>457
いやでも0.00000…1になるはずだろ 限りなく1に近づいてるから実質1なの？
じゃあ2にも限りなく近づいてるから実質2とも言えるの？ >>466
それはおかしいだろ
少なくとも1よりは大きくならないんだから >>450
じゃあ0.9998cmも1cmだし0.9997cmも１cmだし0.3333cmも１cmだよね >>448
それ △くれないとおかしいよね
2/4とかと一緒やろ 1/3=0.333...の3倍って言われてなるほどなあとは思った カシオの関数電卓で、デフォが分数表記になるやつあってワラタ
あれは正確だわ 完全消毒したから便器でカレー食っても問題無いだろと言ってるようなもん
理屈じゃないんだよ >>476
0.999…999より少ないから1じゃないぞ コーシー列とか商集合の意味わからない奴に何言ったって納得できないだろうよ 高校数学の範疇で説明しようとするなら
0.9999...という表記は
0.9+0.09+0.009+0.0009+...
という「無限級数の和」を表している
1も実は
1+0.0+0.00+0.00+...
という無限級数の和の略記を意味する
したがって級数の和として
1=0.999...
が成り立っているということ 数学科の院出てるけど専門の科目以外はマジで何もわからん
集合論やら整数論なんて意味不明な定義こねくり回してるから凡人には難し過ぎて正直未来の何の役に立つのかもわからん >>479
１のように見えるから１ってそんな乱暴な
あきらかに１より少ないものを１にしていいはずがない
おおげさにいうと0.9=1って言ってるようなもんだ 辻褄を合わせきれないの適当な言葉を作って誤魔化してるだけかよ 小数点いくつまで9だったら1なの？
0.9
0.99
0.999
0.9999
0.99999 でもケーキを1/3にして３倍しても数字の上では元に戻らないっておかしいだろ 納得なんてシなくていいよ
単にこの手の話題に首を突っ込まなきゃいいだけ 単純な話0.99999...が厳密に表記じゃないってだけだな
Σ9/10^iは1に収束する
この瀬山士郎は解析分野の初歩本として矢鱈と推されていたから若い頃に幾らか読んだが説明は全く下手くそな野郎だった印象しかない
なにを有難がられている存在なのかが分からん大方出版社フレンドリーなだけなのだろうが(´・ω・｀) 0.999...
=0.9+0.09+0.009+...
=0.9+0.9*0.1+0.9*0.1^2+...
=0.9/(1-0.1)
=1 これ0.999...は1の表現の仕方の一つだから1なんですとしか言ってなくね？ >>481
無限級数の和って極限でしょ
極限だと1に近づくってだけで1になることは証明できないんじゃないの？ これ表記法由来の問題だったのか
数字「(ヽ´ん`)」を1/3=「(ヽ´ん`)」と定義すると0.3333...は数字「(ヽ´ん`)」で表記できて1=3「(ヽ´ん`)」でちゃんと表記できるからそりゃそうか 各数字の等号はその数字との差分0によって真となる二項関係と考えりゃ良いのよ
だから1=1は真、cos(0)=1は真
1-Σ9/10^iが0だから1=0.999999...は真
そう難しい事じゃないと言うかこれが成り立たないと難しい事になる(´・ω・｀) >>328
このデデキントの公理とやらの説明で何となく分かったけど
そのデデキントの公理ってのはどうやって証明するの？ この手のやつでいまいち納得できないのはアキレスと亀のパラドックスだなぁ
現実で実現しないのはわかる亀の細胞内の分子の動きの限界から動作の最小フレームレートがあるだろうしそもそも亀の速度が一定じゃないだろうし
差が収束するのもわかるんだがやっぱり極限の話が納得できてないんかな その場合のためにニアイコールがあるんじゃねえの？
イコールの右上と左下にちょんちょんつけるやつ 調べたらニアリーイコールって言うらしい
そして左上と右下にちょんちょんや デデキントの公理とやらはよく分からんけど
（1未満の集合）と(1以上の集合）に分けたときに
（1未満の集合）の方ににaという実数の元があったとすると
a＜b＜1となる実数の元bが必ず存在する
しかし極限0.9999…を考えると0.9999…＜b＜1という実数bは存在しない
よって極限0.9999…は（1未満の集合）の元ではない
よって（1以上の集合）の下限のなるので
0.9999…=1
イメージとしてはこんな感じになるんかな？ 君ら現代数学語るつもりならまず述語論理のルールを意識してくれ
εNがわからないというのは結局論理構造が理解できないってことだよ >>495
数列の和も数列の極限値もその名の通り「値」そのもの
「近づく」という動き・状態ではない
limも値たから勘違いしないように 連分数や漸近化の能力の時点で
表記の違いにも気を配るべきだけどな
接続なんて言葉もわざわざあるわけだし
古代人でさえ「あると見ればあり、ないと見ればない」と
言ったそうじゃないか これを納得できる人って人口の半分もいないんだろうと思うと悲しくなるな >>506
lim自体は値だけど
limf(x)は「f(x)がlimf(x)という値に近づく」って意味じゃないの？
そのことからf(x)がlimf(x)という値を取ることは証明できない じゃあ 1÷0.999... はいくつになるんだよ！ 両方を9で割れば
0.11111…＝0.111111…
か キレイな数字にできないことを永遠に屁理屈を言ってるだけのスレ >>503
↑
このイメージをもとにすると
必要になる証明は
①「1未満の実数全体の集合」から元aをとると、a＜b＜1となる実数の元bが必ず存在すること
②極限0.9999…（等比1/10の等比級数の極限）を取ったときに、0.9999＜b＜1となる実数bが存在しないこと ちょっと足りないとか言ってるやつは色々勘違いしてる
ちょっと足りない派は、0.999…を、数列｛0.9,0.99,0.999,…｝の中にあると思ってるけどそうではなくて、0.999…は、数列｛0.9,0.99,0.999,…｝が近づいてる値のことを表している
近づいている値のことを極限値と言って、この数列は1に限りなく近づいていくから、
数列｛0.9,0.99,0.999,…｝が近づいている値は1、を省略して0.999…＝1と表記しているだけ
これがわからない人は色々勘違いしてる人なだけ >>513
0.999…と1の間に表現できないだけで数字はあるんじゃないのか >>509
sin(x)がf:R->Rの写像であるように
limf(x)自体も専らf:R->Rの写像だよ
中には発散等の一意でない値を返す例もあるけど
sin(0)=1が真ってのは簡単に理解出来ると思うが
この際にはsin(0)の演算結果について言及してる
ならばlimf(x)が等式の内部に現れる際にはその演算結果について注目しないといけない
だからlimΣ9/10^i=1と言えなきゃいかんのよ
極限を取るってのはちょいプロセスが特殊なだけで演算でしかないからな(´・ω・｀) プログラミング的に考えると「…」というのが糖衣構文syntax sugarなんだと理解してれば理解しやすい
つまり 0.9999… というのは「定数」ではなく
「lim の計算を実行せよ」という「命令文」なんだな >>515
そこが一番のネックなんだよね
文系の俺が足りない頭で考えても全然分からん
等比級数を∞項目まで足し合わせたとしても
∞＋1項目があったら破綻してしまう
無限とはなにかみたいな話になってくる >>518
数列｛0.9,0.99,0.999,…｝は1に到達しないよ
でも、1に限りなく近づいていくよ
だから0.999…は1だよ
それだけ >>511
これでよくね？同じ数で割って同じ値を取るんだから同じ数である
めちゃ簡単じゃん >>516
limがR→Rの写像と見ることが出来るのはそうかもしれんけど
それとf(x)が実際に極限値limf(x)を取りうるかという問題は関係なくないか？ >>520
童貞がセックスに限りなく近づいたら童貞卒業なの？
自宅から鎌倉へ限りなく近づいたら鎌倉についたことになるの？ 0.9999も1とすれば
0.3333も0.1643も1とできる
135gのリンゴ1つみたいな >>523
まだ勘違いしてるな
0.999…は、数列｛0.9,0.99,0.999,…｝の中にある値ではないんだって
そうやってずっと勘違いしてるから理解できなくなる
｛セックスまであと0.1秒、セックスまであと0.01秒、セックスまであと0.001秒、…｝というステップの中にはセックスまであと0秒、すなわち童貞卒業というものは入ってないけど、童貞卒業には限りなく近づいてるだろ?
このとき、セックスまで0.000…秒を童貞卒業と表記するんだよ
ただそれだけなんや >>527
すまん
なんで0.999…は数列には無いの？それって1なのか？ 数学やってるやつに国語で説明させるから無理なんだよアスペなんだから >>517 の続き
0.9999… というのは「定数」ではなく「lim の計算を実行せよ」という「命令文」だと理解するということは
1と0.9999…は同じ値だけど1の代わりに常に0.9999…を使ってもいいという意味ではないという理解に繋がるんだね
普通は1を使いたければ1という定数を使えばいいのであって
1を使うためにわざわざ「limの計算を実行せよ」という命令文を実行する必要はないということだね >>522
あーなるへそね演算結果の一意性についてか
それは話すと糞長くなるな
その正当性を語るというか実数上でのその性質を捏造するのが
上の方で言われてるデデキントカットの真骨頂なのよ
supやらinfやらの一意性を述べてて極限の演算がwell definedである事を述べるもんなんよ
つまり3+4がどんな時でも7であるように
limf(x)がある時にαならば実数の連続性はそれをいつでもαであると規定する為に作られているというかなんというか
まぁ、そういった性質をデデキントカットやらヴァイエルシュトラスでも何でもいいがに依って定めた連続性に依って定理として導出できるんよ(´・ω・｀) 同じではなく同じように扱える場面もあるって約束にしてるだけじゃないの
実際にはそうはなってないけど
無条件で等号で結べるなら大分様相変わっちゃうとこもあるよ >>528
｛0.9,0.99,0.999,…｝が限りなく近づいていく値のことを0.999…と表記しましょうねっていう決まりだから 実数「1」は二通りに表示できて、それは「1」と「0.9999…」だという話なんだが
概略はwikipediaがわかりやすい
有限小数
循環小数（無限小数）の循環節が「0」もしくは「9」の場合は、どちらも実質的には有限小数となる。一般に、正の実数について、有限小数は二種類の循環小数で表せ、逆に、二通りに小数表示できるのはその一方が有限小数である場合に限る。
一つには、循環節は 0（0桁という意味でなく、繰り返し単位が「0」）と考えることができる。もう一つは、有限小数の（0 でない）末尾を 1 減らし、それよりあとの位を全て「基数 − 1」にするというものである。
例えば、1 は 1.0000… と表せ、これは循環節が 0 の循環小数である。一方、末尾の 1 を 1 減らして 0 にし、それよりあとを全て 9 にした 0.999... に等しいとも考えられる。これは循環節が 9 の循環小数となる。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AA%E7%92%B0%E5%B0%8F%E6%95%B0 >>66
Chuck Norris can divide by zero.
ー chuck norris facts ー >>125
蚊の面積だったらどんな形の拳でもいいんじゃねーか？w >>531
いまいちよく分からんな
たとえばx→∞のときのtan-1xを考えてみると
tan-1xはπ/2に近づくけどπ/2の値は決して取らないよね
lim自体はπ/2という値だけどtan-1xがπ/2という値をとる訳じゃない
同じように、等比級数の和でn→∞に飛ばしたとしても
等比級数の和自体が極限値を取るわけではないでしょ
じゃあtan-1xの場合と等比級数の和の場合の違いって何なの？ >>435
x=0.8888… (イ)
とする。両辺に10をかけると
10x=8.8888… (ロ)
(ロ)-(イ)は
9x=8
よって、x=8/9
でいい？ 数列｛0.9,0.99,0.999,…｝が限りなく近づいていく値は1
を
0.999…＝1
って表記しましょうね
ってだけなんや
難しく考えるからみんな勘違いしてるだけや >>531
ちなみに俺の考え方を説明しておくと
y=tan-1xについて考える場合は
そもそもyの値域をy＜π/2とすることで集合の上限を作らないようにするから
x→∞としてもtan-1xはπ/2という値は取れない
無限等比級数の場合はそういう値域の制限がないから
取ろうと思えば1という値を取れる
以降の俺の考え方は>>503、>>513で説明した通り >>541
そこを体系化するε-δ論法ってのがあるから触れてみろ >>514
そだねー
1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + .... と 1/n^2 (n∈ℕ) を順番に足していく操作は
有限和では有理数で閉じてるけど、無限和では π^2/6 と超越数になるもんねー >>541
tan-1xと等比級数の和の場合の違いなんて全くないぞ
>>527はかなり上手い表現してて
簡単に言うと極限ってのはその周辺=近傍の変質点を提示するための作業なのよ
基本的に演算と言われるとその関数が取り得る値であるべきだと思い混んで居るがそれが間違いなのよ
f(x)=xであるときx->0とした際に0となりf(0)と一致するのはたまたまみたいなもんだ
まぁ、それも連続性の定理の一つで偶然ではないんだけどさ(´・ω・｀) 0.00000…と小数点以下無限に0が続くのが0で
0.99999…と小数点以下無限に9が続くのが1ってだけだよね >>375で感覚的にさえ理解出来てれば生きていく上で困ることはないわな >>546
まあ何となく言いたいことは分かる気もするがよく分からん
ちょっと本格的に数学勉強してみるよ >>549
気になる部分というか視点がかなり鋭いというか数学科よりの野郎みたいだから多分お前は数学を楽しめる野郎だと思うぜ
解析学のεδもいいがそこらを一般化したトポロジーという分野は美しい分野だから見た方がいいぜ(´・ω・｀) >>551
トポロジーはん「驚愕の定理」とか名前からしてやってくれますわ
俺は天文学→数値計算→統計数理と進んだから、まともに数学やったのは大学教養課程までなんだが
あなたがたが概念を耕してくれるおかげでワイらが仕事できてます >>551
ε-δ論法はよく聞くし取り敢えずググってみたけど
無限を直接扱うことを回避できる論法とか書いてあるな
>>519のあたりを回避できるなら確かに凄そうだな
トポロジーもよく聞く分野だね
いろいろ勉強してみるよありがとう 昨日のスレ
切り取りは悪！だとかめっちゃ安価着いてたけど
どういう意味？
129 番組の途中ですがアフィサイトへの転載は禁止です (ﾜｯﾁｮｲ cf31-Iu0r) 2024/02/20(火) 18:33:56.82 ID:+Q2ioStr0
https://i.imgur.com/TtyUEDp.jpg
https://i.imgur.com/Kqjbyu6.png
https://i.imgur.com/837C1IL.png >>500
これプランク定数込みで考えると
どーなるの 俺が納得できないのは有理数の数が自然数の数と同じということ
どう考えても有理数の方が多いだろ >>6
ほんとそうおもう
だから物理できなかったんじゃないのかな自分 >>46
ほんとこれわからん
分数なら3センチなら1センチになるのに
少数ならならないのほんとわかんない 現実の世界も多分こうなってる
濃度とか確率が全てで人が考えるような素朴な自然数の世界ではない 集合と位相も知らずに微積と線形代数だけで大学数学をやったつもりの奴 数学得意で高校センターレベルくらいまでなら余裕で理解してるけどモンティホール問題は未だによくわからん
よくドア100個にしたらわかるみたいな話されるけどそれでもわからん 切り上げや四捨五入すれば1だけど約1だよな
そういう障害がある子に割り切れない円周率を延々と言ってと言ったら飽きるまでやってそう
3.14じゃ納得できない！って言って >>547
0.0000……はいつかは0になるんやろか？🤔 0.33333333…が割り切れないけど便宜上表記してるに過ぎないんだわ
分数のままにして計算すれば１に戻る アナルガバガバでフェラからアナル舐めまで流れるようにしても
マンコは使ったこと無いから処女って位には納得できない 差をいくらでも小さくできれば同じ実数値であるという、実数のルールだから >>499
実数の定義だから証明はできない
この公理を前提として色々な定理を導くもの
>>503
ちょっと違うかな
任意の1未満の数aに対して必ずa<0.9999…となるから
0.9999…は1未満の数の集合の最大元であると言えるが
1未満の数の集合には最大元はないはずなので矛盾ってこと 全く分からん
やはり俺は文系なのか
本も大嫌いだけどね >>285
全然ならん
おまえの糞レスじゃそもそも10xにする意味がない 昨晩オンライン学習サイトで数学勉強してたときに同じ問題やったわw
Σ(j=0→n) r^j
まず上の総和を簡単な式で表すと
(r^n+1 - 1)/(r-1)みたいになる（公式）
0.9999…は
0.9+0.09+0.009…と表すことができ、分数にすると
9(1/10+1/100+1000…)になる
これは1/10を1乗、2乗…無限乗して最後に9を掛け合わせたものに等しい
これは1/10と♾を上の公式のrとnに代入することで求められるが、この公式は指数が0で始まることを前提としているので、計算の最後に1/10の0乗である1に9をかけた結果である9を引く必要がある
r^n+1は1/10の無限乗なのでゼロとみなせるので、
式は-1/(-9/10)となり、これに9をかけると10になる
さらに9を引くと1になる x:=0.9999.....
10x=9.9999....
10x-x=9x=9
x=1 パチの確率で1/320と1/319気にするか？程度の問題。
気にすると禿げる。 このスレのまとめについて挑戦する。スレタイが納得できない人はどこが納得出来ないのかをレベル分けしてみた
パチライン すぐ上に出ている よくわかる。どうでもいい。
1わる3ライン 1わる3を真剣に取り組んだことがないよという話
無限級数の話ライン 高校レベルだとこの理解でいいよという話
極限ライン 極限は数ではないよ命令だよという話
実数の定義ライン 0.999...と1の間に実数は存在しないよという話
イプシロンデルタ論法ライン 大学に行くと突然出てくるよでもそれは歴史的に出てきた問題を回避するものだったよ。でも実際にも使えるよという話
これより難しいのは数学科に入った人がやればいいよ。一般の大学でここまでやってたら良く分かってるよという話 おまんらパカだな
0.999 ＝ 0 ＝無 じゃない
つまり存在しているという事 よって1 はい論破 iPhone持ってるやつらへ
1÷3で0.33333～て答え出した直後に
それを3でかけてみろ １÷３＝0.333333333333
0.333333333×３＝0.999999999999
ﾄﾞｺｲｯﾀ
(´；ω；`)0.00000000000000000000000001
>>572
＞任意の1未満の数aに対して必ずa<0.9999…となるから
なんでそうなるの？🤔 >>587
ノウノウ！それは計算間違いだよ。3とか9で計算途中で止めたでしょう。ずるしちゃいけないよ。でもすぐにわかると思うけど一日中書いても１ヶ月書いても100年計算し続けてもおわらないでしょう？この終わらない計算をどう処理すればいいのかな？っていう話なんだよ。 >>584
このスレを眺めてると色んなレベル帯の人がいて
まるで数学の発展の歴史を見てるようで面白いね うん。ほんとだよね。面白いよねここ。見てて何度も「あっ！」ってなった。 実数なんて数学者の妄想であって自然界には実在しないから >>44
そう考えれば0が無限に続くから割り切るしか無い >>587
1÷3を計算した時点で本来は永遠に戻ってこれない沼にハマるべきところを無理矢理戻ってきたせいでバグが生じてるんだよね 0.99999…をaとする
10a=9.99999…
10a-a=9a
（9.99999…）-（0.99999…）=9
9a=9なのでa=1
0.99999…=1 もう飽きたわこれ
バカにいくら説明しても無駄という教訓を得ただけ
実数とは何かを自分で勉強してくれとしか =と思う奴と≠と思う奴で…の定義が違うから並行線にしかならないって何度もやってる これはちょっと3秒くらい考えれば分かる事だと思いますよ 僕のは小数点以下32桁まで9だよ
ってマウント取るんだろ そういや安倍晋三が数学解いてる写真なくねえ？あるわけねえか >>596
9a＝9って所おかしくね？
πでも同じことできる？ >>588
結論から言うとa<0.99…99(有限個の9が並んでいる)<0.9999…(無限桁)
になるから
証明すると
1-a>0より0<1/(10^n)<1-aとなるようなnが存在する。
何故nが存在するかというと1-aはゼロより大きいから必ずどこかの小数の位でゼロじゃなくなるから。
式変形して
a<1-1/(10^n)=0.99…99(n個の9が並んでいる)<0.9999…(無限桁) 0.00000...1を理論上可能とか言ってるアホいるよね >>606
「等比級数の有限和＜等比級数の無限和」
⇔「等比級数の無限和が集合の最大限となる」
というのは自明ではないよね？
無限和って何やねんって話に戻っちゃう 1-0.99999....=0.0000....1にはならないの？ >>612
左の0.9999…が無限なのに右辺が有限になる訳ないじゃん >>604
むしろ無理矢理数学で殴るしか今の物理学にできることなくない？ >>604
物理は数学で出来てるんだぞ
切り離すも何も無い
日本語から50音なくすようなもんだぞ >>609
循環小数からただの途中省略に勝手に意味を変えてるからなw コンピュータに数学やらせたらほぼ近似値でしか表現出来ない事だらけだしな
それがなにか？で終わる話 >>616
数学なんてなくても物理現象はそのまま何も変わらず存在するが？
家畜ヒトモドキは何を勘違いしてんだか 物理現象って言うものが人間の目では捉えられないのが問題なんすよ 大学でやったわ加算無限集合は点の集まりに過ぎない
非加算無限集合は連続(線)になるから0.999…と1の間にも数が存在する
でもこの理論が何に役立つか理解出来なかった
実践では0.999…を1とみなす考えの方が使い道が多そうだし >>616
相対性理論までは必須だったが数学の曖昧さが量子力学の曖昧さを加速させてるような気がしてな >>604
数学無くしたら交流回路すら理解できなくなるんだが、、、 三進数で考えりゃいいだけだろ
1/3は三進数なら0.1だからスッキリしていい >>624
三進数でも.2…の循環小数は同じことだけどな >>625
結局〇進法で表せない数がそれぞれあるってだけのことじゃね
十進法で上手く扱えない0.33333…も三進法ならスッキリするし
三進法だってうまく扱えない数があると
なので結局は1を何個に分割するかの設定の問題でしかないんじゃねーかな >>621
0.99…と1の間に数が存在しないってのは実数(非可算無限)の話だぞ 文系的には0.9999…と1は等しいかという問題設定をしている時点で、
0.9999…と1という異なる2つの概念を意味する用語が存在していた（あるいは現在もしている）ことは自明だからね
歴史的には0.9999…という言語によって表現される概念は現に存在している
しかし数学の無矛盾性を維持するために0.9999…=1と定義したに過ぎない
ここにおいて歴史的文脈から切り離された用語方法が誕生したことになる 無限に近づいてるなら＝でいいよね?
これをシンプルに直感的に認められる人は
漸近線で直線と曲線は接すると考える人じゃないかと思う
数学的に理性で違いが分かる人は別として だけど1わる3を筆算で計算した人が無限に0.333...という結果を見て無限に何かに近付いていくと「想像」するべきだろうか？3分の１と認識して割り切れたと「想像」するべきじゃないだろうか？ よくわからんけど一個のケーキを三等分する事ができて、三等分したものを合わせたら元の一個に戻るというのはわかる なんで馬鹿って1/3=0.3333…は納得できるんだろうな >>125
独歩の時間が無限にあったならば無限に999999……vs無限に99999……と書き続けるという無限どうしの戦いになって結局1なのか0.99999のままなのか決着がつかないような気も🤔
無限に続くんやから1でええやろ😡って言われても「え？🤔無限に時間があるんだから無限に計算し続けるあいだは1にならんやろ？」とか返される感じ 数学では無限に計算できる人を組み込んだ理論とかないんやろか？🤔
>>636
現代数学では選択公理を認めてるから無限の計算を暗黙裡に系に組み込んでる定期 >>637
なんや😌
無限に計算できる愚地独歩も組み込みずみなんか😌 1/3=0.333...
に納得できるんなら9÷9の筆算で最初の商を1じゃなく0にすると
9÷9=0.999...
になるぞ
https://i.imgur.com/8tHjaDM.jpg あーでもこれはいけないかあ。次も0にするとただ計算間違いだったことが浮き彫りになってしまうし、最初に0を置くのも計算間違いと分かってしまう。 ノウノウ！ニアリーイコールは
アジアの人口 にありいこーる 40億人
円周率 にありいこーる 3.14
という使い方で殆ど一緒という意味だよ。
0.999...と1は完璧に、パーププツにおんなじなので違うよ。 直観では絶対にわからない
論理を使わないと答えはでません
それが無限を扱うということです
しかも無限小がある系では成立しません＾＾
以上 0.999…と1をニアリーイコールだと思ってる奴は、前者はどっかで9が終わると思ってるんだろうけど、有限なら0.999...9って表記するんだよな
9が「無限に」続くならイコールだよっていう話 >>53
0.9999999・・・＝1
1-0.9999999・・・＝0
つまり
1-0.9999999・・・の微小な差なんて「まぁいいじゃん、そういうの」
こういう話だろうからな
言わばまさに、安倍数学だよ 観念としてしか存在し得ない数値だからなぁ
現実には有効数字2桁ぐらいで四捨五入するし 論理っていうより妥協だからな
そうであるではなくそう考えないと仕方ないっていう >>649
結局それなんだよな
1÷3は3分の1 であって、0.3...って表記することが間違ってるんだよや しかしなぜそれが広まらなかったのだろうか？もしくは小学校の過程に繰り込まれなかったのだろうか？
ジャップ国の特性を考えてみると、見抜けなかったということではないだろうか？ なぜこのスレは何十回も建つのだろう。誰も教育に興味がないからだ。 1＜1.0000000………………………
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