リーマンゼータ関数は有名な数学関数であり、200年もの間未解決の素数の分布に関する問題である、リーマン予想との関係がよく知られている。しかし、平均律の「倍音性」を測定するという驚くべき音楽的解釈もある。簡単に言うと、ある意味でゼータ関数は、与えられた平均律が倍音列、それどころか「無限リミット純正音程」までの全ての有理数までもに対し、どの程度近似しているかを示してくれる。
その結果、ゼータ関数は解析的整数論への使用が最もよく知られているが、調律論の背景にも常に存在している──調和エントロピーはゼータ関数のフーリエ変換に関連する可能性があることを示している。また、無限リミットまで拡張すると、種々の調律論的な計量から、ゼータ関数と関連する式が得られる。時々、これらはゼータ関数のシンプルな式から導出できる「素数ゼータ関数」を基準にされることもある。
以下の文の多くはGene Ward Smithの洞察のおかげである。以下の内容の初めはSmithの行ったオリジナルの導出であり、その後に、Smithの結果の一部を拡張した、Mike Battagliaによる別の導出が続く。
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1000以下のゼータ平均律の抜粋
ゼータピーク平均律
1, 2, 3, 4, 5, 7, 10, 12, 19, 22, 27, 31, 41, 53, 72, 99, 118, 130, 152, 171, 217, 224, 270, 342, 422, 441, 494, 742, 764, 935, 954
ゼータピーク整数平均律
1, 2, 3, 5, 7, 10, 12, 19, 22, 31, 41, 53, 87, 118, 130, 171, 224, 270, 311, 472, 494, 742
ゼータ積分平均律
2, 5, 7, 12, 19, 31, 41, 53, 72, 130, 171, 224, 270, 764, 954
ゼータギャップ平均律
2, 3, 5, 7, 12, 19, 31, 46, 53, 72, 270, 311, 954
厳密なゼータ平均律
2、5、7、12、19、31、53、270
The Riemann zeta function and tuning
https://en.xen.wiki/w/The_Riemann_zeta_function_and_tuning?_x_tr_hist=true
リーマンゼータ関数と調律
https://en.xen.wiki/w/User:Triethylamine/draft:_%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%82%BC%E3%83%BC%E3%82%BF%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%A8%E8%AA%BF%E5%BE%8B
